기본 대상

선형대수학에서 기본대상인 벡터, 행렬, 일차함수는 데이터를 다루고 분석하는데 사용하는 언어와 같다.

• 벡터는 문장에서의 명사처럼 분석하고 싶은 대상(데이터) 그 자체이다.
• 행렬은 동사처럼 벡터에 어떤 **행동(변환)**을 가한다
• 일차함수는 이 행동의 규칙, 즉 문법에 해당한다.

벡터 (Vector)

벡터란 본래 물리학에서 크기와 방향을 함께 갖는 힘이나 속도 같은 물리량을 표현하기 위해 '화살표'로 시각화된 개념이다. 수학자들은 이 화살표들이 덧셈과 스칼라 곱셈이라는 두 가지 핵심 연산 규칙을 따른다는 본질을 발견했다. 이를 바탕으로 현대 수학에서는 벡터의 정의를 확장하여, 이 두 가지 규칙, 즉 선형 결합이 성립하는 집합인 **벡터 공간(Vector Space)**에 속한 모든 원소를 벡터라고 부른다. 이 덕분에 기하학적 화살표는 물론, **함수(function)**나 **행렬(matrix)**처럼 전혀 다른 형태의 대상까지도 벡터로 간주하고 선형대수의 도구들을 적용할 수 있다.

이처럼 벡터의 개념이 추상적으로 확장되면서, '크기'와 '방향'이라는 직관적 개념 또한 일반화되었다. 벡터의 크기, 즉 길이는 **노름(norm)**이라는 일반화된 함수로 측정하며, 벡터 간의 방향 관계나 각도는 내적을 통해 정의한다.

• 예시
  • 기하학적 벡터 (유클리드 기하학적 벡터)
    • 속도 벡터 v = (3, 4) : 이는 x축으로 3, y축으로 4의 속도로 움직이는 객체를 나타내는 2차원 벡터이다. 물리적 공간에서의 실제 움직임을 표현한다.
  • 데이터 벡터
    • 성적 벡터 s = (95, 80, 88) : 이는 한 학생의 국어, 영어, 수학 점수를 나타내는 3차원 벡터이다. 물리적 방향은 없지만 '성적 공간'이라는 다차원 공간 속의 한 점으로서 학생의 학업 성취도를 표현한다.
  • 함수 벡터
    • 함수 f(x) = sin(x) : [0,2$\pi$] 구간에서 연속인 함수들의 집합에서, sin(x)는 하나의 벡터로 간주된다. 이는 다른 함수 벡터 g(x) = cos(x)와 더해져 sin(x) + cos(x)라는 새로운 함수 벡터를 만들 수 있다.

선형 독립성

벡터의 개념을 더 깊이 이해하기 위해서는 선형 독립성이라는 중요한 성질을 알아야한다. 간단히 말해, 이는 벡터들의 집합이 서로에서 불필요한, 중복된 정보를 포함하고 있는지를 알려주는 척도이다.

• 선형 독립(Linearly Independent) : 집합에 속한 어떤 벡터도 다른 벡터들의 조합(선형 결합)으로 만들어낼 수 없는 상태이다. 2차원 공간의 x축 방향 벡터 **(1, 0)**과 y축 방향 벡터 **(0, 1)**이 대표적인 예이다. x축 벡터를 아무리 늘리거나 줄여도 y축 방향을 만들 수 없으며, 그 반대도 마찬가지다. 이들은 서로에게 완전히 독립적인, 고유한 방향 정보를 제공한다.
• 선형 종속 (Linearly Dependent) : 집합의 벡터 중 적어도 하나가 나머지 벡들의 조합으로 표현될 수 있는 상태이다. 예를 들어 $v_1 = (1,1)$, $v_2 = (0,1)$, $v_3 = (2,3)$이라는 벡터 집합이 있다면, $v_3$는 $2v_1 + 1v_2$로 만들 수 있다. 즉, $v_3$는 새로운 방향 정보를 제공하지 않는 중복된 벡터이며, 이 세 벡터의 집합은 선형 종속이다.

이처럼 한 공간을 표현하는데 필요한 최소한의 중복 없는 벡터들의 집합을 찾는것이 선형대수학의 중요한 목표 중 하나이다. 이러한 선형 독립적인 벡터들의 집합이라는 개념은 향후 벡터 공간의 기저를 정의하고 그 공간이 몇개의 축으로 이루어져있는지를 나타내는 차원을 이해하는데에 도움이 된다.

행렬 (Matrix)

행렬이란 숫자나 변수등을 직사각형 형태로 배열하여 괄호로 묶은것이다. 이 행렬은 선형 대수학에서 두가지 역할을 한다.

데이터의 구조적 컨테이너

행렬의 가장 기본적인 역할은 데이터를 담는 구조적인 틀, 즉 컨테이너이다.

• 구조 : 행렬의 행과 열은 각각 특정 기준을 나타낸다. 예를 들어 3명의 학생이 2개의 과목(수학, 과학)에 대해 시험 본 점수를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

  $$ A = \begin{pmatrix} 90& 85 \\ 75& 95 \\ 100& 80 \\\end{pmatrix} $$

  여기서 각 행은 한명의 학생을, 각 열은 하나의 과목을 의미한다. 첫번째 행 **(90, 85)은 '학생 1'의 점수 벡터이며, 두번째 열(85, 95, 80)**은 '과학'과목의 점수 벡터이다. 이처럼 행렬은 여러 벡터를 모아놓은 집합으로 볼 수 있다

• 벡터를 변환하는 연산자

  선형대수학에서 행렬의 더 중요하고 동적인 역할은 벡터를 입력받아 새로운 벡터로 출력하는 변환 연산자이다.

  • 작동 방식 : 행렬과 벡터의 곱셈 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$는 행렬 A가 벡터 x에 작용하여 b라는 새로운 벡터로 변환시키는 과정을 의미한다.
  • 기하학적 의미 : 이 변환은 벡터 공간 전체를 움직이는 선형 변환에 해당한다. 즉 행렬은 공간을 회전, 확대/축소, 전단, 반사 시키는 등의 변환 규칙을 담고 있는 설계도이다. 예를 들어 2차원 벡터 (x, y)에 다음 회전 행렬을 곱하면 벡터가 시계 반대 방향으로 90도 회전한다.

  $$ \begin{bmatrix} 0& -1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

  \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix} $$