벡터 공간 (Vector Space)

벡터 공간은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱이 정의되고, 그 연산이 일정한 규칙을 만족하는 집합이다. 벡터는 단순히 숫자 화살표만 의미하지 않는다. 함수, 행렬, 다항식처럼 덧셈과 스칼라 곱이 가능한 대상도 벡터가 될 수 있다.

벡터 공간의 핵심 조건

집합 $V$가 벡터 공간이 되려면 임의의 $u,v,w\in V$와 스칼라 $a,b$에 대해 다음 성질을 만족해야 한다.

1. $u+v\in V$: 덧셈에 대해 닫혀 있다.
2. $av\in V$: 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다.
3. $u+v=v+u$: 덧셈의 교환법칙
4. $(u+v)+w=u+(v+w)$: 덧셈의 결합법칙
5. 영벡터 $0$가 존재하고 $v+0=v$이다.
6. 각 $v$에 대해 $v+(-v)=0$인 덧셈 역원이 존재한다.
7. $a(u+v)=au+av$
8. $(a+b)v=av+bv$
9. $a(bv)=(ab)v$
10. $1v=v$

대표적인 예

• $\mathbb{R}^n$: 길이가 $n$인 실수 벡터들의 공간
• $\mathbb{R}^{m\times n}$: $m\times n$ 실수행렬들의 공간
• 차수가 $k$ 이하인 다항식들의 집합
• 특정 구간에서 정의된 연속함수들의 집합

반면 원점을 지나지 않는 직선은 일반적으로 벡터 공간이 아니다. 예를 들어

$$ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=2x+1\} $$

은 영벡터 $(0,0)$를 포함하지 않는다.

부분공간 (Subspace)

부분공간은 더 큰 벡터 공간 안에서 그 자체로도 벡터 공간을 이루는 부분집합이다. $W\subseteq V$가 부분공간인지 확인하려면 다음 세 조건이면 충분하다.

1. $0\in W$
2. $u,v\in W$이면 $u+v\in W$
3. $v\in W$이면 모든 스칼라 $c$에 대해 $cv\in W$

부분공간 판별 예제

$$ W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\} $$