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• 베이즈 정리
• 확률

아이디어

1단계: 배팅 전략 수립

• 기대 자산 식 유도: $E = M + x(2P_{win} - 1)$
  • 현재 자산 $M$원이 있고, $x$원을 배팅한다고 가정
  • 승리 시: 자산이 $M + x$가 됨 (확률 $P_{win}$)
  • 패배 시: 자산이 $M - x$가 됨 (확률 $1 - P_{win}$)
  • 기댓값: $E = P_{win}(M + x) + (1 - P_{win})(M - x) = M + x(2P_{win} - 1)$
• 최적 배팅 결정:
  • $P_{win} > 0.5$일 때: $2P_{win} - 1 > 0$이므로 $x$가 클수록 기댓값이 증가 → All-in (전액 배팅)
  • $P_{win} \le 0.5$일 때: $2P_{win} - 1 \le 0$이므로 $x$가 작을수록 기댓값이 증가 → Bet 0 (0원 배팅)
• 결론: 어중간한 금액은 불필요. "전부를 걸거나, 안 걸거나" 두 가지만 고려

2단계: 베이지안 확률 추론

• 목적: 과거 데이터($w$승 $l$패)로 현재 게임의 진짜 승률 추정

• 가능성 계산:

  $$ L(i \mid w, l) = (p_i)^w (1-p_i)^l $$

  • 게임의 진짜 승률이 $p_i$일 때, $w$번 이기고 $l$번 질 확률

• 정규화 상수:

  $$ S(w, l) = \sum_{k=1}^n L(k \mid w, l) $$

  • 가능한 모든 승률 $p_1, p_2, \ldots, p_n$에 대한 가능성의 총합
  • 베이즈 정리를 적용할 때 분모 역할을 하며, 확률의 합이 1이 되도록 정규화

3단계: 다음 판 승률 계산 단순화

• 핵심 테크닉: 복잡한 조건부 확률 대신 점화식 형태로 변환

• 승률 공식:

  $$ P_{next\_win} = \frac{S(w+1, l)}{S(w, l)} $$

  • 현재 $w$승 $l$패 상태에서 다음 판을 이길 확률
  • 유도: $P_{next\win} = \sum{i=1}^n p_i \cdot P(i \mid w, l) = \sum_{i=1}^n p_i \cdot \frac{L(i \mid w, l)}{S(w, l)}$
  • 분자를 정리하면: $\sum_{i=1}^n p_i \cdot (p_i)^w (1-p_i)^l = \sum_{i=1}^n (p_i)^{w+1} (1-p_i)^l = S(w+1, l)$